《信号处理原理》课堂笔记(1)

课程内容

  • 信号与信号处理的基本概念
  • 连续时间傅里叶变换CTFT
  • 离散时间傅里叶变换DTFT
  • 离散傅里叶变换DFT
  • 小波变换与不确定性原理
  • 离散时间系统分析
  • 数字滤波器设计

信号的概念

信号是人对物理世界的一种观察。OR:信号是反映信息的物理量。信号是信息的表现形式,信息是信号里所蕴含的内容。
观察是人通过传感器对物理世界的一种测量。
传感器是把一种物理变化转换成另一种物理变化的装置。

信号处理及其目的

信号处理:对信号进行变换、分析和综合处理的过程。
信号处理的目的:

  • 去伪存真:去除信号中冗余的和次要的成分
  • 特征抽取:把信号变成易于进行分析和识别的形式
  • 编码解码:把信号变成易于传输、交换与存储的形式(编码),从编码信号中恢复出原始信号(解码)

DSP的优点:

  • 数字系统的工作具有可预测性和可重复性
  • 体积小,功耗低
  • 灵活性高

局限:

  • 带宽受限于采样速率
  • 有限的动态范围
  • 量化噪声:采样的时候丢掉的东西

数字信号处理的步骤

模拟信号->抗混叠滤波器->模数转换ADC->数字信号处理DSP->数模转换DAC->抗镜像滤波器->模拟信号
采样定理

信号的描述

数学描述:把信号描述为一个或若干个自变量的函数或序列的形式
$f(t) = \sin{t}$
$x(n) = a^n u(n)$
波形描述:按照函数随自变量的变化关系,把信号的波形画出来。

确定信号与随机信号:给定自变量的值是否可以唯一确定信号的取值
周期信号与非周期信号:$f(t)=f(t+T)$
非周期信号可以视为是周期无穷大的周期信号。
正余弦信号:
$f(t)=Ksin(ωt+θ)$
$f(t)=Kcos(ωt+θ)$
Sa函数:$Sa(t) = \sin ⁡t / t$
特点:偶函数;过零区间宽度为π;过零位置为nπ
思考:如何计算Sa函数的积分?
https://www.quora.com/What-is-the-integration-of-sinx-x-with-limit-0-to-infinite
指数信号:$f(t)=Ke^{\alpha t}$
微分或积分后还是指数信号
复指数信号:$f(t)=Ke^{st}=Ke^{(σ+jω)t}=Ke^{σt} * e^{jωt}=Ke^{σt} * (cos⁡ωt+j sin⁡ωt )=(Ke^σt⋅cos⁡ωt )+(Ke^σt⋅j sin⁡ωt )$
实值信号与复值信号:信号的取值是实数还是复数。
电磁场:用复值信号的实数部分和虚数部分分别表示电场与磁场信号。

欧拉公式

欧拉公式:$e^{ix} = \cos⁡ x + i * \sin x$
$\sin ⁡x= (e^{ix} − e^{−ix}) / (2i)$
$\cos x = (e^{ix}+e^{−ix})/2$
$e^{i\pi}+1=0$

欧拉公式的证明

formula.PNG

复指数信号与正余弦信号之间的关系
(我感觉课上开始复习复变函数了。。。)

函数变换

向量变换

正交向量组
正交基:n维欧式空间,n个向量相互正交
标准正交基:单位向量,正交基
正交变换与线性变换:设A是n维欧式空间的线性变换,则A是正交变换的充分必要条件是A把标准正交基变为标准正交基。

函数变换

正交函数集
正交函数:$\int_0^{2\pi/\omega_1} \phi_1(t)\phi_2(t)dt = 0$,则这两个(非零)函数是区间$[t_1,t_2]$上的正交函数 注意区间
正交函数集:在区间上,自己和自己的积分是常数(但常数可以不同),自己和别人的积分是0
例子:

formula2.PNG

信号的基本运算

常规运算

线性运算
乘除运算
四则运算:四则运算后的信号在任意一点的取值定义为原信号在同一点处函数值作相同四则运算的结果

$f_1 (t)+f_2 (t)=f_1 (t_i )+f_2 (t_i )$
$f_1 (t)−f_2 (t)=f_1 (t_i )−f_2 (t_i )$
$f_1 (t)⋅f_2 (t)=f_1 (t_i )⋅f_2 (t_i )$
$f_1 (t)÷f_2 (t)=f_1 (t_i )÷f_2 (t_i )$

波形变换

时移运算
压扩运算
反褶运算
1. 平移运算:将原信号f(t)的波形沿横轴平移b个单位
$f(t)=f(t−b)$
参数b决定平移方向和位移量:b>0,右移;b<0,左移
2. 反褶运算:将原信号f(t)的波形按纵轴对称翻转过来
$f(t)=f(−t)$
3. 压扩运算:又称尺度变换
$f(t)=f(at)$
a的绝对值:>1,压缩;<1,扩张

数学运算

pic1-math.png

相互运算

pic2-relative.png

奇异信号

pic3-singular.png


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